Güvercin Yuvası Prensibi

-


Eğer 3 güvercininiz ve onları yerleştirebileceğiniz 2 yuvanız varsa en az ikisinin, siz yeni bir yuva alana kadar, oda arkadaşı olması gerekir (Tabii eğer hayvan sevgisinden yoksunsanız hepsini bir yuvaya da koyabilirsiniz ama matematik bununla ilgilenmez. Şimdilik...). Bunun matematiksel bir prensip olmasını yadırgayanlarınız olabilir. Neticede bu, sağduyuyla tamamen uyumlu, üzerine birazcık kafa yoran herkesin ulaşabileceği bir sonuç. Ama bu basit prensibi güvercin ve yuva özelinden çıkarıp çok geniş alanlarda işletebiliriz. Örneğin, 8 kişinin bir odada toplandığını düşünün. Bu gruptan en az ikisinin doğum günü haftanın aynı gününe denk gelecektir. Diyelim ki bunu test etmek için arkadaşlarınızla toplandınız. Çaylar, kahveler hazırlandı ve sırayla herkes doğum gününün haftanın hangi gününe denk geldiğini söyleyecek. Siz ev sahibi olduğunuzdan en son siz söyleyeceksiniz ve liseden beri matematiğe beslediğiniz kinin intikamını almak için fırsat kolluyorsunuz. Bu kaideyi yanlışlayabilirseniz o gece rahat uyuyacaksınız. Arkadaşlarınız söylemeye başladılar: “Pazartesi”, “Salı”, “Çarşamba”, “Perşembe”, “Cuma”, “Cumartesi” ve “Pazar”. Sıra sizde. Son arkadaşınızın cevabından sonra prensibin neden haklı olduğunu fark ediyorsunuz. Hile yapıp “Çarşamba-ertesi” diyemeyeceğinize göre bu sefer de matematiği yenemediğinizi anlıyor ve usulca “Perşembe” diyorsunuz. Matematik haklıydı çünkü en kötü durumda, yani herkesin doğum gününün farklı güne geldiği durumda bile –eğer kişi sayısı haftanın günlerinin sayısından fazla ise- en az iki doğum günü haftanın aynı gününe denk gelecek. Bunu en az 13 kişinin olduğu bir grupta doğum aylarını kıyaslayarak da görebilirsiniz. Burada anahtar, obje sayısının -güvercinler, kişiler- özellik sayısından –yuvalar, günler, aylar vs.- en az bir fazla olmasıdır. Matematiksel konuşmak gerekirse n+1 sayıda (veya daha fazla) objeniz varsa ve bunları n sınıfta kategorize etmek istiyorsanız en az iki objeniz aynı kategoriye ait olacaktır.
Şöyle bir örnekle devam edelim: 1 ile 200 aralığında 101 tane sayı seçilmiş olsun. Bu sayılar arasında muhakkak öyle iki sayı vardır ki biri diğerini tam böler. Burada “muhakkak” kelimesi önemlidir çünkü güvercin yuvası prensibi ile bu kesinliği sağlarız. Şöyle: herhangi bir tam sayı; n tam sayı, a tek tam sayı olmak üzere (2^n + a) formunda yazılabilir. 1 ile 200 aralığında a sayısı 1, 3, 5,…, 199 sayılarından biri olabilir. Verilen aralıkta 101 sayı seçilince bu kümedeki iki sayının a çarpanları kesinlikle aynı olacaktır. Böylece bu iki sayı birbirine tam bölünecektir. 
Güvercin yuvası ilkesi (orijinal adıyla “Pigeon Hole Principle”), matematikte teorem ispatlarında sıkça kullanılmasının yanı sıra günlük hayatımızda –matematiksel herhangi bir anlamı olmasa da- bizi çok ilginç olgularla karşılaştırıyor. Son bir örnek daha vereyim. Türkiye’de sizinle aynı saç teli sayısına sahip en az bir kişi daha bulunmaktadır. Bir insanın en fazla 500.000 saç teline sahip olabileceği düşünülürse yaklaşık 80 milyon içinde kesinlikle bir saç teli kardeşiniz vardır. Buradan kendi saç teli kardeşime selam gönderiyor ve sizi bir sonraki sefer bir güvercinle karşılaştığınızda matematiğimize katkıları için kendisine teşekkür etmeye davet ediyorum.
Kaynakça:
http://www.math.ucla.edu/~radko/circles/lib/data/Handout-123-153.pdf
https://www.math.ust.hk/~mabfchen/Math391I/Pigeonhole.pdf
https://mindyourdecisions.com/blog/2008/11/25/16-fun-applications-of-the-pigeonhole-principle/
Fotoğraf: https://en.wikipedia.org/wiki/Pigeonhole_principle

Yorumlar

Yorum Gönder

Bu blogdaki popüler yayınlar

Makineler Düşünebilir mi?

-
Resim
MAKİNELER DÜŞÜNEBİLİR Mİ? Günümüzde akıllı yazılım ya da yapay zekâ diye adlandırılan birçok yazılım üretiliyor, birçoğu piyasaya sunuluyor. Bunlardan belki de en ünlüsü Hanson Robotics tarafından üretilen Robot Sophia. Konuşması, mimikleri, cevapları aynı bir insana benziyor. Peki, gerçekten bizim gibi düşünebiliyor mu? Bu soru ünlü bilgisayar bilimci Alan Turing’in 1950 senesinde yazdığı “Computing Machinery and Intelligence” isimli makalesinin temelini oluşturan soru ve geçen o kadar zamana rağmen halen birçok disiplinden araştırmacıların aklını kurcalıyor. Gelin, günümüzden neredeyse 70 sene evvel yazılmış makalenin detaylarına birlikte bakalım. Alan Turing makalesinde bir makinanın düşünebilme yeteneğine sahip olup olmadığını sınamak için bir test önerir. Literatüre Turing Testi olarak geçen bu test şu şekilde işler: Deneyde rol alacak üç varlığımız A, B ve C içerisinde C soruları soracak ve son kararı verecek olan bir insandır. Sorulara cevap verecek olan A ve B’...
Devamı

Geçmişi İzlemek

-
Resim
Geçmişi izlemek ilginç olmaz mıydı? Mesela, 10.000 yıl önce olmuş bir olayı sanki şu an oluyormuş gibi canlı canlı izlemek. Peki ya bir olayı evrendeki herkesten daha önce öğrenmek?   Dürüst olmak gerekirse bunlar çok da absürt istekler değil. Hatta aslında biz bunları her gün yaşıyoruz. Nasıl mı? Hiçbir şey boşluktaki ışıktan daha hızlı hareket edemez. Bilgi bile. Işık hızının sayısal bir değeri, bir limiti olduğunu da biliyoruz. Bu durumda geçmişi “izlememiz” işten bile değil. Tam bu noktada matematiksel bir örnek verelim. Boşlukta ışığın hızı yaklaşık olarak saniyede 300 milyon metredir. Diyelim ki bir ışık kaynağından 600 milyon metre uzakta duruyoruz. Işık kaynağının yanında da bir arkadaşımız var. Arkadaşımız düğmeye bastığında ışık yanıyor ve ışık ışınları bize doğru harekete başlıyor. Kaynakla aramızdaki mesafeyi ve ışığın hızını hesaba kattığımızda kaynaktan çıkan bir ışık ışınının bize ulaşması 2 saniye kadar sürecektir. Bu durumda biz arkadaşımızın ışığı yaktığın...
Devamı

Rastgelelik Mümkün mü?

-
Resim
Bir zar attım. Üst yüze hangi sayı gelecek dersiniz? Sonuç tamamen rasgele değil mi? Değil. Gelecek sonuç benim atma hızıma, fırlatma açıma, zarın ağırlığına, içinde bulunduğumuz ortamdaki hava basıncına, attığım yüzeyin sürtünme katsayısına, zarın yapıldığı maddeye ve daha birçok değişkene bağlı. İstediğiniz sayıyı zarın üstüne getirecek atmayı yapan makinelerin varlığı da bu olgunun bir kanıtı. Ya da bir yazı tura oyununu düşünün. Üste gelecek yüzün yazı veya tura oluşu para üzerindeki kabartma ve oymalar simetrik olmadığı için ağırlık merkezi ortalanmaz, yüzeylerden birine daha yakın olur ve o yüzeyin aşağı gelme ihtimali artar; daha da ilginci bazı paraların dikey düşmesi bile küçümsenmeyecek bir olasılıktır! Örneğin yapılan araştırmalarda Amerikan 5 sentinin dikey düşme olasılığı 1/6000 olarak hesaplanmıştır. Dijital dünyaya baktığımızda da sandığımız anlamda rastgelelikle karşılaşamayız çünkü dijital sistemler de rastgele sayı üretmeleri gerektiğinde üzerlerinde tanıml...
Devamı